رنگ معلم

مجموعه، مفهومي چنان بديهي و بنيادي است كه نمي توان آن را با مفهومي ساده تر از آن تعريف كرد. اين كه بگوييم:

به هر دسته از شيئها يا به هر گروه از چند شيء مجموعه مي گويند.

تعريفي از مجموعه نكرده ايم. "دسته"، "گروه"، و "چند" خود واژه هاي ديگري براي مجموعه هستند و از اين رو براي فهم مفهومي كه اين واژه ها بيان مي كنند، بايد از پيش مفهوم مجموعه را دانسته باشيم. اين گونه مفهومها را كه از تعريف مي‌گريزند تعريف ناپذير مي نامند. مجموعه يكي از تعريف ناپذيري هاي نظريه مجموعه هاست.

مجموعه اي از چند شيء را با قراردادن نام آن چند شيء در داخل دو ابرو نشان مي دهيم. براي مثال:

{حسن، سيب، ايران،2}

مجموعه اي ست با چهار عضو: حسن، سيب، ايران و 2. مجموعه هاي نامتناهی را نمی توان به روش بالا نشان داد. عضوهاي چنين مجموعه هايي اغلب در صفتي يا صفتهايي همانندند. براي مثال :

{...، 8، 6، 4، 2}

 مجموعه عددهايي‌ست كه همه زوج هستند. ازاين رو، اين مجموعه را با مفهوم "عدد زوج"  بیان می کنیم .

هر واژه اي كه مفهومي را برساند( مفهوم- واژه) مجموعه اي را مي نماياند كه عضوهاي آن در آن مفهوم همانندند. براي مثال هر كدام از مفهوم- واژه هاي انسان، حيوان، زن دار، تهران، ايران و ... نماينده مجموعه اي هستند. اين مجموعه را مصداقهاي يا دايرة مصاديق آن مفهوم هم مي نامند.

 در اینجا تذكر چند نكته بي فايده نخواهد بود.

1) هر مفهوم واژه معنايي دارد و مصداقي (يا مصداقهايي) براي مثال عبارتهاي

 نقطه برخورد سه نيمساز هر مثلث متساوی الاضلاع

نقطه برخورد سه ميانه هر مثلث متساوی الاضلاع

از نقطه هاي يكساني سخن مي گويند. در واقع مفهومي كه با عبارت اول بيان مي شود، همان مصداقها را دارد كه مفهومي كه با عبارت دوم. يعني اين دو مفهوم هم مصداق هستند. اما هر فارسي زباني مي پذيرد كه معناي این دو يكي نيست. اينجا با دو مفهوم سر و كار داريم كه هم مصداق هستند اما هم معنا نيستند. اگر مفهوم چيزي جز مصداق نبود اين تفاوت هم وجود نداشت. از اين رو معناي مفهوم را از مصداق مفهوم جدا مي كنيم.

در نظريه مجموعه ها با مصداقهاي مفهومها كار داريم نه معناهاي آنها.

2) اين كه گفتيم هر مفهوم مجموعه اي را مي نماياند حرف دقيقي نيست. مجموعه هايي هستند كه هيچ مفهوم_ واژه اي براي آنها در زبان نيست و مفهومهايي هستند كه هيچ مجموعه اي را نمايش نمي دهند. بحث در اين موردها از سطح اين نوشته فراتر مي رود.

3) بعضي مفهومها مانند "انسان" ، "طلا" و "آب" مصداقهاي روشني دارند. اما بعضي ديگر( در واقع بيشتر مفهومها ) مانند "بلند"  ،  "بازي" ، "باهوش" برخلاف آنچه اغلب گمان مي كنند مصداقهاي روشن و دقيقي ندارند، يعني دايره مصداقهاي آنها مرز قاطعي ندارد.

مرد بیابانی تنها ثروتش سایه ی اوست. می نشیند با او می نشیند. می ایستد با او می ایستد. صبح که می شود عظمت او را امتداد می دهد تا مغرب جهان. عصر که می شود غروب او را امتداد می دهد تا مشرق جهان چه کسی این همه وفادار است؟ این چنین رفیقی را تیغ افتاب که به فرق سرت بکوبد رهاش می کنی بسوزد؟ می بینی هی مچاله می شود در خود می بینی به پات می افتد. راه می دهی که از زیر ناخن پاهات نشت کند در تو. طبیعتت شده که این کمترین کار توست در قبال او. خوب که به قالب تنت در تو نشست تیغ افتاب هزیمت کرده است. پس آرام ارام از زیر ناخن پاها خودش را می کشد بیرون اما اگر نکشید؟ اگر دائم با خود می جنگم اگر هماره بر خلاف مصلحت خویش عمل می کنم از ان روست که من خودم نیستم . که این لگدها که دائم به بخت خویش می زنم لگدهایی است که دارم به سایه ام می زنم. سایه ای که مرا بیرون کرده و سالهاست غاصبانه به جای من نشسته است...

تثلیث زاویه ، مسئلة تقسیم زاویه ای مفروض به سه بخش مساوی که یکی از سه مسئلة مشهور هندسة یونان باستان بود (دو مسئلة دیگر: تضعیف مکعب * و تربیع دایره * ). اقلیدس در حدود 300 ق م ، در قضیة 10 مقالة اول اصول نحوة تقسیم زاویة مفروضی را به دو بخش مساوی با خط کش و پرگار نشان داد. پیر ل . وانتسل (1814ـ 1848) ریاضیدان اروپایی ، در 1837 با استفاده از نظریة معادله های جبری ثابت کرد که تثلیث زاویه با خط کش و پرگار در حالت کلی ناممکن است (کلاین ، ص 764) اما بعضی زاویه های خاص ، مثلاً زاویة °90، را می توان با خط کش و پرگار تثلیث کرد.

در قرن دوم یا سوم ق م ، هندسه دانان یونان روشهایی برای تثلیث زاویه از راههای دیگر یافتند ( رجوع کنید به هیث ، ج 1، ص 235ـ 244). یکی از راههای تثلیث ابداعی یونانیان را می توان از روی کتاب مأخوذات منسوب به ارشمیدس ، که تنها ترجمة عربی دورة اسلامی آن به جا مانده است ، بازیافت . دایره ای به مرکز C می کشیم و فرض می کنیم که تثلیث زاویة PCA با نقطه های P و A روی دایره مطلوب است . از نقطة A قطر AB را می کشیم و آن را از طرف B امتداد می دهیم . اکنون پاره خط QR برابر با شعاع دایره را بین لبة بیرونی دایره و امتداد قطر چنان درج می کنیم که نقطة Q روی دایره بین P و B باشد و نقطة P بر راستای RQ واقع شود. اکنون زاویة QCR یک سوم زاویة PCA است . این ترسیم نمونه ای از ترسیمهای موسوم به «درج » در هندسة یونان است . درج یعنی قراردادن پاره خطی راست ، به طول مفروض ، بین دو منحنی مفروض چنانکه این پاره خط یا راستای آن از نقطة مفروضی بگذرد. برخی هندسه دانان یونان (مانند ارشمیدس ) این شیوة ترسیم را بدون توجیه اضافی می پذیرفتند.

سایر هندسه دانان یونان کاربرد مقطعهای مخروطی را ترجیح می دادند. دو روش تثلیث زاویه با دایره و هذلولی در مجموعة پاپوس اسکندرانی * به جا مانده است . ترجمة عربی یکی از این روشها در نوشته های بنوموسی * و ثابت بن قرّه * آمده است . ابوسهل کوهی در قرن چهارم روش بسیار ساده ای برای تثلیث زاویه ابداع کرد. این روش را احمدبن محمدبن عبدالجلیل سِجزی بنادرست از آنِ خود خوانده است

در روش ابوسهل کوهی فرض می شود که می خواهیم زاویة ACB را تثلیث کنیم . دایره ای به مرکز C و شعاع دلخواه می کشیم و فرض می کنیم که A و B روی این دایره واقع اند. BC را امتداد می دهیم تا دایره را در D قطع کند و وسط CD را M می نامیم . سپس هذلولی متساوی الساقین به مرکز M و گذرنده از C را چنان می کشیم که خط AC بر آن مماس باشد. این هذلولی ، دایره را در نقطة E بین A و B قطع خواهد کرد.اکنون زاویة EDB یک سوم زاویة ACB است . 

این فرض ابوسهل کوهی که می توان هذلولی فوق را رسم کرد مبتنی است بر نظریة مذکور در پایان مقالة اول مخروطات آپولونیوس پرگایی (200 ق م ) که در قرن سوم به عربی ترجمه شد. آپولونیوس در آنجا ترسیم مخروطی سه بُعدی را تشریح کرده که صفحه را در مقطع مخروطی مطلوب قطع می کند. ابوسهل کوهی رساله ای دارد دربارة نوع خاصی پرگار که با آن می توان این نوع ترسیم را انجام داد. شاهدی برای این که این پرگار کامل (البرکارالتام ) عملاً به کار می رفته است ، موجود نیست . در عهد ابوسهل کوهی ، تثلیث زاویه تنها اهمیت نظری داشت . وقتی ارتباط تثلیث زاویه با مسئلة محاسبة سینوس ْ1، که در جدولهای مثلثاتی کمّیتی بنیادی است ، معلوم شد این وضع تغییر کرد. اگر زاویة a را بتوان با خط کش و پرگار رسم کرد، همواره می توان سینوس a را به کمک جذرگیری با دقت دلخواه محاسبه کرد. به این ترتیب ، مثلاً می توان سینوس ْ3 را محاسبه کرد.

غیاث الدین جمشید کاشانی در رسالة وَتَر و جَیْب که باقی نمانده ولی به صورت شرحهایی که بعداً بر آن نوشته اند در دست است ، نشان داده است که تثلیث هر زاویة مفروض را می توان به مسئلة حل معادلة درجة سوم px = q + 3 x که در آن p و q کمّیتهای مثبت معلومی هستند تحویل کرد ( رجوع کنید بهقاضی زادة رومی ، ص 44). او روشی مبتنی بر تکرار برای یافتن x (ریشة معادله ) ابداع کرد. در مورد تثلیث زاویة ْ3 ، این روش یک رشته تقریبهای سریعاً همگرا برای سینوس ْ1 عرضه می کند. وی سپس مقدار دقیق سینوس ْ1 را به عنوان مبنای جدول سینوس جدیدی به کار برد .

بیرونی در مقالة سوم قانون مسعودی به بررسی ضلع نُه ضلعی منتظم در دایره ای به شعاع معلوم پرداخته است تا وتر ْ40 یا، به عبارت دیگر، دو برابر سینوس ْ20 را محاسبه کند (ج 1، ص 286ـ291). او نشان داده که این مقدار را در صورت حل هریک از دو معادلة x 3 + 1 = 3 x یا x 3 = 1 + 3 x نیز می توان یافت ، و تقریبی برای جواب معادله یافته است که به کمک آن سینوس ْ20 با دقت 7 رقم دهدهی محاسبه می شود (شوی ، ص 78ـ82). این مسئله معادل است با تثلیث زاویة ْ60

در ریاضیات اروپا، تثلیث بار دیگر در آثار فرانسوا ویت دیده می شود. او از تثلیث برای حل معادلة درجة سوم px = q + 3 x استفاده کرده است . روش جبری منجر به اعداد مختلط می شود که ویت از آن پرهیز داشت .

یک خاصیت جالب سهمی که کاربردهای علمی بسیار دارد،خاصیت انعکاسی است .فرض کنیم نقطه­یP واقع بر سهمی با کانونF وN خط قائم بر سهمی در نقطه­یP باشد وPQموازی محور تقارن سهمی باشد. در این صورت زاویه­ی بین N وPQ با زاویه­ی بینN وPF برابر است.  از این نکته وبنا بر قانون انعکاس هر گاهS یک آینه سهموی باشد یعنی آینه­ای به شکل سطح حاصل از دوران یک سهمی حول محور تقارن خود(یک سهمی گون دوار) معلوم می شود که اشعه­ی صادر شده از یک منبع نقطه­ای نور واقع در کانون سهمی پس از بازگشت ازS به صورت موازی درمی آیند.به این دلیل است که از آینه­های سهموی در چراغ­های جلو اتومبیل نورافکن­ها و آنتن­های رادار و غیره استفاده می شود با همین استدلال«در جهت عکس» می بینیم که یک دسته شعاع نور موازی پس از برخورد با یک آینه­ی سهموی در یک نقطه از محور تقارن آن جمع می شوند.به این دلیل سعی می کنند با رنج بسیار آینه­های سهموی را به دقت ساخته و در تلسکوپ­های انعکاسی به کار برند.